La casilla demoníaca (solución)

Después de mucho —muchísimo…- tiempo he vuelto para pensar qué hacer con Azúcar con Sal. Tras un curso de mucho trabajo y estudio llegaron un par de semanas de relax en las que no quise tocar un ordenador. Y luego la preparación del viaje… Ahora mismo estoy escribiendo desde Chapel Hill, North Carolina (USA), pero eso lo contaré en la siguiente entrada.

¡Click aquí para ver la solución a “la casilla demoníaca”!

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La casilla demoníaca #AcSFacts

Esta semana, en clase (en Ingeniería Física), oí a dos compañeros discutir sobre un acertijo. Ambos estudian Ingeniería Física y Matemáticas, así que fácil no iba a ser… Me ha parecido muy interesante —y, aparentemente, absurdamente complejo- y quiero compartirlo —aún no sé la respuesta, y quiero seguir pensando antes de preguntársela, así que la publicaré en unos días, si es que me la quiere contar y la consigo entender-. Ahí va:

Imagina que vas caminando por la calle con Will Smith. Sí, como sueles hacer de costumbre. De repente, casi como por arte de magia, se os aparece el demonio justo delante y os “invita” a viajar con él a su despacho.

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Una vez allí, coge a Will y lo aísla completamente: le venda los ojos, le tapona los oídos, le ata brazos y piernas y lo cubre con una sábana. Es imposible comunicarse con él. Entonces el demonio te lleva junto a una mesa sobre la cual hay un tablero de ajedrez, con sus 64 casillas. Él saca una bolsa con monedas y las empieza a colocar meticulosamente sobre el tablero. Una en cada casilla. Situadas exactamente en el centro de cada una —ya sabemos todos lo meticuloso que es el demonio-. Todas las monedas tienen dos caras, bueno, una cara y una cruz. Y no sabemos cuántas caras y cuántas cruces hay boca arriba hasta que no las coloca —podrían ser todas caras, mitad y mitad o cualquier otro resultado-. Tras ello, el demonio te muestra cuál es su casilla favorita —sí, el demonio es muy caprichoso y tiene una casilla preferida-.

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Te pide luego que gires una moneda con el objetivo de que Will pueda adivinar la casilla favorita del demonio. Tú le haces caso, pero no la volteas tú, sino que mágicamente la moneda se eleva en el aire, se da la vuelta y vuelve a ser depositada en el centro de su casilla —y sí, el demonio las podría haber colocado inicialmente con sus poderes telequinéticos en lugar de hacerlo a mano, pero todos sabemos que el demonio también es muy de estar por casa-. Finalmente, intercambia tu posición y la Will. ¿Qué moneda has girado para que Will pueda conocer la casilla favorita del demonio?

Nota importante: como Will y tú estáis muy acostumbrados a estas apariciones, ya habíais planeado qué hacer en caso de que tuvierais este problema. Es decir, Will sabrá interpretar tu movimiento igual que tú.

Good luck! =)

Demostrando que la presión importa

¿Alguna vez os habéis preguntado por qué los astronautas llevan esos trajes tan aparatosos y aparentemente incómodos? Si es para llevar el aire para respirar, ¿no bastaría con una botella cual buzo y el casco, o incluso una mascarilla?

Esta semana me he llevado una gran desilusión. El año pasado, con tantas matemáticas —que si cálculo por aquí, que si álgebra por allá- me malacostumbré a que todo se podía demostrar elegantemente —en muy pocas ocasiones fácilmente, en ocasiones no tanto-. Un ejemplo muy bonito a mi parecer es la siguiente:

x=0,999…

10x=9,999…

10x-x=9,999…-x

9x=9,999…-0,999…

9x=9

x=1

De ella concluimos que 1=0,999… Sorprendente, ¿no? Esta es una sencilla demostración de algo que muchos matemáticos apoyan —yo confío también en ello: si entre dos números cualesquiera caben otros infinitos números (basta con sumar ambos y dividirlos por dos) y entre 0,999… y 1 no hay ningún otro, es porque son el mismo-. Sin embargo, hay quien la rechaza y propone otras demostraciones, puesto que aquí partimos de algo que tal vez no sea axiomático. ¿Quién nos dice que ‘x’ pueda ser igual a un cero seguido de una coma e infinitos nueves? ¿Quién nos dice de entrada que podamos escribir eso y que no debamos escribir directamente 1?

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Y el año pasado también me sucedió esto con la cinética, dinámica, sólido rígido, gravitación, electrostática, electrodinámica… Todo se podía demostrar. Pero a partir de “verdades” que tomábamos como válidas. Y ese era el engaño. Parecía que todo era tan recto como en las matemáticas, pero no. Primero es necesario observar el mundo, observar las relaciones entre la infinitud de variables naturales, observar cómo se comportan. Y entonces estableceremos modelos matemáticos en la física que consideraremos correctos y en los cuales nos basaremos para seguir adelante. Pero al menos entendía de dónde salían las primeras proposiciones.

La “desilusión” de la que hablaba es por la termodinámica. Estuvimos el otro día hablando de sistemas, relación PvT —presión, volumen, temperatura-, ecuaciones de estado y todo esto. Y estuve un tiempo comiéndome la cabeza tratando de averiguar de dónde provenían todas aquellas fórmulas mágicas y gráficas. Hasta que al final le pregunté al profesor cómo podía demostrar aquellas cosas. Por ejemplo, ¿por qué la temperatura y la presión en un gas ideal verificaban una relación de proporcionalidad directa y no una cuadrática? Y simplemente me dijo que no podía. Que eran datos experimentales. Modelos matemáticos que se habían creado y que funcionaban. Supongo que no todo puede explicarse con números.

En cualquier caso, la termodinámica nos explica increíbles y curiosos —tan curiosos como extremadamente útiles- fenómenos. Uno de ellos es el por qué no debemos echar agua a una sartén caliente —por experiencia propia-. Si miramos el diagrama PvT del agua —o de cualquier sustancia-, observamos que existen ciertas limitaciones. A grandes rasgos debemos saber que, para cada presión, existe una temperatura de saturación a partir de la cual no podremos encontrar la sustancia en estado líquido. Por ejemplo, para el agua a presión atmosférica es de unos 100ºC. Por tanto, si tratamos de elevar su temperatura por encima de esta —y si lo hacemos además súbitamente, poniéndola en contacto con una superficie tan caliente como es la sartén-, adiós agua. Hola vapor de agua.

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Por otro lado, si disminuimos la presión, esta temperatura “de hervido” también se hace más pequeña. Allá por la Edad Media, una de las pruebas que llevaba a cabo la Inquisición para comprobar si uno era brujo o bruja consistía en meter un objeto dentro de un caldero con agua hirviendo y hacer que el sospechoso lo cogiera. Luego se vendaba la mano y, si al cabo de unos días persistían las heridas, se le declaraba culpable —era la llamada “ordalía del agua”-. El daño producido en la prueba depende del calor recibido, es decir, de la temperatura del agua —independientemente de que hierva o no, ya que esto solo supone que está cambiando de estado-. De tal manera que, con lo que hemos visto y sabiendo que la presión disminuye con la altura, sobre la cima del Everest el agua hierve a unos 70ºC. Treinta grados menos. Igualmente está caliente… pero yo pediría hacer la prueba allí arriba.

Por último, recuperemos lo que decíamos al principio sobre los astronautas. ¿Por qué llevan un traje por todo el cuerpo? Pues uno de los motivos, entre muchos otros, es la presión. A  5600 Pa = 0,055 atm, la temperatura máxima a la que podría existir agua líquida es 35ºC. Si tenemos en cuenta que en el espacio la presión es aún menor —lo que llamamos “el vacío”-, es imposible que exista agua líquida a nuestra temperatura corporal. Es imposible que existamos. Así que, de no ser por el traje, los astronautas hervirían. Literalmente =)

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La brillantez de lo absurdo

Día a día nos vemos inmersos en innumerables e indescriptibles situaciones absurdas, completamente inverosímiles –yo, cada día que pasa más-. Y los causantes de todas ellas –o de la gran mayoría- somos nosotros. Vivimos en ocasiones lo absurdo con humor, aunque no debiera ser así. Tomemos como ejemplo el circo que hay montado en televisión –sobre todo en algún canal con exceso de programas basura del corazón-. Eso está lleno de vividores y no hace falta más que encenderlo unos minutos para comprobar que la suma del CI –ó IQ- de todos los que hay ahí dentro es igual o menor que la de los peces de mi pecera.

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Bueno, podremos comprobar esto si y solo si –como diría un matemático- no están en intermedio… Porque a veces, para un rato que enciendes la tele, te tragas más publicidad que otra cosa. Publicidad que, por otro lado, no tiene por qué ser aburrida ni molesta –aunque en general lo sea-. Puede ser incluso absurda. Absurda. Simpática. Graciosa. Brillante. Como los anuncios de mixta, con su gato o con el legendario pato Willix. O como el siguiente spot australiano desarrollado con el objetivo de promover la seguridad cerca de las vías –por cierto, es una sencilla canción con un inglés bastante claro, ¡va bien para practicar!-:

Y, muy a mi pesar –en realidad no- e intentando no ahondar en esto para evitar que parezca que repetimos tema, no podemos dejar pasar el humor absurdo. Que a veces también es brillante. Una muestra:

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Además, no siempre lo absurdo tiene por qué ser simple o idiota. También puede ser complicado. Enrevesado. Difícil. Extraño. Absurdo, al fin y al cabo. Pensé que iría bien recordar aquí aquello del 1+2+3+4++…=-1/12 –si esto no es tan increíble como absurdo, apaga y vámonos-. Hablando de mates… Propongo un juego: ¿qué ha pasado para que haya llegado en la siguiente deducción a un resultado absurdo?

Sean a=1 y b=1, entonces

a=b

aa=ab

aa-bb=ab-bb

(a-b)(a+b)=b(a-b)

a+b=b

¿¿ 2=1 ??

Para acabar, no podemos irnos sin ver algo increíblemente absurdo. Algo que hay que ver para creer. Algo que basta creer para ver. Un fuerte aplauso para Teller, el bajito del dúo “magicómico” Penn & Teller =)

Falsos mitos y el porqué de algunas cosas

Tenía por ahí –en Evernote– varios apuntes con ideas para escribir. Tenía tantos y tan variados que no sabía por dónde empezar. Después de dos semanas abarrotadas de exámenes –pido disculpas por esta sequía de entradas-. Bueno, pues todo a la vez, ¿por qué no? Espero que os guste este mix:

Mito: Einstein sacaba malas notas y se le daban mal las matemáticas. Parece ser que esto fue un error cometido por historiadores que no atendieron al baremo de notas en Suiza, donde Albert vivió su periodo escolar y en el cual un 6 era la nota máxima. Nota que obtuvo el pequeño genio en asignaturas como física, álgebra, geometría o trigonometría.

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¿Por qué escribimos las coordenadas cartesianas en el orden (x,y,z)? Podríamos escribirlas como (y,x,z), por ejemplo, ¿no? Pero es más cómodo el orden habitual porque al hacer el producto vectorial entre dos vectores unitarios –i, j, k, como los denominamos habitualmente en física- consecutivos nos da el tercero: i x j = k, j x k = i, k x i = j. Lo mismo sucede en coordenadas cilíndricas y esféricas.

–Sabemos que el hipo está producido por una contracción involuntaria y súbita del diafragma. Pero no somos los únicos animales con diafragma. ¿Alguno más puede sufrir hipo? Claro. Se ha observado en ratas, conejos y gatos, por ejemplo.

Mito: el agua de los desagües gira en sentido contrario según el hemisferio debido a la fuerza de Coriolis. Falso. La fuerza de Coriolis producida por la rotación de la Tierra no es apreciable en la vida cotidiana. Podemos observarla en fenómenos como la formación de anticiclones –en sentido opuesto según  el hemisferio- pero el giro del agua en un recipiente que se vacía depende más –muchísimo más- de la geometría y las propiedades de este y las perturbaciones cercanas.

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–El cuatrimestre pasado el profesor de Álgebra Lineal dijo que el espacio de funciones –de una variable- continuas en un intervalo U era mayor que el de polinomios. Sin embargo, se me ocurrió que para cada función podemos obtener un polinomio interpolador que la aproxime tanto como queramos –por ejemplo con el desarrollo de Taylor, interpolación polinómica de Lagrange…-, de manera que si cogemos infinitos términos, disminuiremos el error a 0 y tendremos un polinomio que sea exactamente igual la función. De este modo, el espacio de funciones continuas no es mayor, sino igual al de los polinomios. Falso. La afirmación de mi profesor es totalmente correcta puesto que no podemos hablar de un polinomio de infinitos términos ni, por tanto, de que este sea idénticamente igual a la función original. Espero haberme explicado.

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Curioso todo, ¿no? Cosas que tiene la vida. Cosas que nos creemos porque alguien las dijo y no son verdad o sí lo son pero no nos molestamos en demostrar. Pensadlo. Y tratad de comprobar que lo que os cuentan es verdad. Os dejo aquí un bonus track para reír un rato =)

 

De las EDOs a “e”

Hoy estuvimos resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales (EDOs) en clase de Métodos Matemáticos. Son tan ingeniosos como divertidos. La semana pasada, por ejemplo, nos mandaron para casa un pedacito de la novela de Sherlock. Resuelva el caso. ¿A qué hora fue asesinado Sir Baskerville? Otro problema curioso, que a simple vista parece no dar suficientes datos como para poder resolverlo es el siguiente –típico problema de EDOs, según mi profe-: “Nieva con regularidad. A las 12h sale una máquina quitanieves y recorre 2km. Durante la hora siguiente recorre uno más. ¿Cuándo empezó a nevar?”

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Además, hemos estudiado las llamadas EDOs lineales de Bernoulli. ¿De qué Bernoulli? Esa es la primera pregunta que nos ha resuelto el profesor, ya que los Bernoulli fueron una familia suiza con cuatro generaciones de extraordinarios matemáticos –que también destacaron en otros campos, como hizo Daniel con su Principio de Bernoulli en el marco de la dinámica de fluidos-. Nuestras ecuaciones surgieron a partir de la rivalidad entre los hermanos Jakob y Johann –este último fue quien enunció la Regla de L’Hôpital, aunque el francés la “compró”-. De jóvenes, su padre los obligó a estudiar teología y medicina, respectivamente, pero ambos compartían en secreto, por las noches, su afición por los números –y las letras, literalmente-. Pronto rivalizaron hasta tal punto que se proponían mutuamente problemas para hacer ver al otro su ignorancia. Como resultado obtuvimos la solución a este tipo de EDO –que resolvió Johann tras la muerte de su hermano, el cual formuló la cuestión- o el estudio de la cicloide (ver imagen inferior) y sus propiedades tautócrona –si dejamos una bolita en cualquier punto de la curva, tarda el mismo tiempo en llegar al final- y braquistócrona –es la curva de descenso más rápido entre dos puntos, y no la recta, como nos diría la intuición-.

Cycloid_animated [Cicloide en rojo]

Tautochrone_curve [Tautócrona]

280px-Brachistochrone [Braquistócrona]

Durante esa época (finales de s. XVII), Newton y Leibniz, apodado a veces “el último gran genio universal”, habían desarrollado por separado el cálculo infinitesimal –límites, derivadas, integrales y series, en general-. Tanto Jakob como Johann Bernoulli lo emplearon en numerosas aplicaciones y apoyaron al alemán. A Newton le sobraban enemigos. No contento con haber conseguido describir el mundo mediante las 3 Leyes que llevan su nombre, la Ley de Gravitación Universal, el co-descubrimiento del cálculo infinitesimal, el estudio de la viscosidad de los fluidos, la Ley de enfriamiento de cuerpos, y un largo etcétera, aún se enfrentó, por ejemplo, a Huygens y a Hooke –el de los muelles-, tratando de imponer sus ideas sobre la naturaleza de la luz y su carácter corpuscular.

Pero no todo fueron peleas en esos tiempos de enormes avances físicos y matemáticos. Hubo quien prefirió aprender de los mejores. Hooke, por ejemplo, fue ayudante de Robert Boyle –el de los gases ideales-. Euler fue discípulo de Johann Bernoulli, y acabó superando al maestro, contribuyendo en muchas áreas del saber matemático e “inventando” el número e.

Genios. Dios los cría y ellos se juntan.

Y acabamos con un toque musical. ¿Por qué? Porque sí. Porque hace tiempo que no se escucha nada por aquí. Os presento al sheng, un instrumento chino que data del 1100 a.C. y que suena estupendo con una melodía no tan antigua =)

Inventando las mates

Últimamente he oído hablar mucho sobre los físicos y los matemáticos –algunos profesores míos son de lo uno y otros de lo otro-. Críticas mutuas –con cariño, por supuesto-. Bueno, no llegan a ser del todo críticas, sino más bien comentarios satíricos. Y tampoco es mutuo, ya que el bombardeo sale de las trincheras matemáticas. O tal vez sí, porque no sería la primera vez que se escucha eso de que las mates solo sirven para servir a la física –valga la redundancia-. Recuerdo además que mi profesor de matemáticas del instituto –un físico- decía que estas únicamente avanzaban cuando la física necesitaba más herramientas para poder seguir trabajando.

000significado signo igual

Hoy, por ejemplo, para resolver una ecuación diferencial al estilo dy/dx=k·x, el profe –matemático- ha dicho que ellos tienen métodos más complejos y correctos de resolverla, pero que, como nosotros vamos tirando más hacia el lado de la física, nos dejaba cometer la “atrocidad” de pasar el diferencial de x multiplicando: dy=k·x·dx –y después resolvemos integrando y despejando-.

De la mano de la más absoluta rigurosidad, los matemáticos han conseguido cosas realmente geniales. Como el concepto de serie convergente. Una suma de infinitos términos con resultado finito. De golpe puede sorprender e incluso parecer imposible, por ello una buena manera de entenderlo es la paradoja de Aquiles y la tortuga:

Y por supuesto, este concepto y su estudio han servido a los físicos para infinidad de aplicaciones –tanto teóricas como prácticas-. Sin embargo, hay veces que van más allá y se “inventan” cosas tan increíbles como que la suma de todos los números naturales no da como resultado el infinito, ni siquiera un número positivo, sino que 1+2+3+4+5+…=-1/12:

 

En el fondo, en realidad, matemáticos y físicos no son tan diferentes. Puede que los primeros no hagan cosas demasiado útiles si no se aplican a la física –o a la economía, biología, etc. etc.- y que los segundos no sean tan rigurosos y hagan alguna aproximación y/o pseudo-trampa  en los cálculos –trampas que les sirven para acortar camino y obtener un resultado perfectamente válido-. Puede que se metan unos con los otros –siempre con cariño-. Puede. Pero hay algo que tienen en común. Algo que los hace especiales. Y ese algo es el toque de humor que los caracteriza. Ese toque del matemático –o físico- que hace reír a los alumnos –para estimar quiénes van camino del aprobado- con un “sea un épsilon menor que 50” =)

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